Стереометрия - теория

Аксиомы и следствия из них

А1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость

А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

Т1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость

Т2

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость

Параллельность прямых

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

Теорема

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость

Теорема

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой

Параллельность прямой и плоскости

Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

Признак

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельная какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости

Скрещивающиеся прямые

Определение

Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Признак

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой

Углы с сонаправленными сторонами

Определение

Два луча OA и O1A1, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей OO1

Теорема

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны

Параллельность плоскостей

Определение

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Признак

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечений параллельны

• Отрезки параллельных прямых, заключенный между параллельными плоскостями, равны

Сечение и секущая плоскость

Определение

Секущая плоскость многогранника - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки этого многогранника

Определение

Сечение многогранника - многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани этого многогранника

Перпендикулярность прямых

Определение

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° (пересекающиеся и скрещивающиеся)

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости

Теорема

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны

Признак

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

Теорема

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ей, перпендикулярна и ее проекции

Угол между прямой и плоскостью

Определение

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость

Двугранный угол

Определение

Это фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями, не лежащими в одной плоскости, с общей границей - этой прямой

Линейный угол двугранного угла

Из точки на границе полуплоскостей проводятся лучи, перпендикулярные этой границе, лежащие в разных полуплоскостях

Перпендикулярность плоскостей

Определение

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°

Признак

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны

Теорема (следствие)

Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярная каждой из этих плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Определение

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны основанию, а в основаниях лежат прямоугольники

Свойство 1

Все шесть граней - прямоугольники

Свойство 2

Все двугранные углы - прямые

Свойство 3

Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений

Свойство 4

Все диагонали (4) равны